Méthodes de correction de pression pour les écoulements compressibles : application aux équations de Navier-Stokes barotropes et au modèle de dérive

Nous développons dans cette thèse un outil de simulation pour les bains à bulles, tels que rencontrés dans certaines phases tardives des scénarios de fusion de cœur pour les réacteurs nucléaires à eau pressurisé, lorsque les matériaux fondus issus de la cuve viennent interagir avec le béton du radier. La modélisation physique est basée sur le modèle dit « à vitesse de dérive », constitué des équations de bilan de masse et de quantité de mouvement pour le mélange (équations de Navier-Stokes) et d'une équation de conservation de masse de la phase gazeuse.

Dans un premier temps, nous proposons un schéma de correction de pression pour les équations de Navier-Stokes compressibles basé sur une approximation en éléments finis mixtes non conformes. Une discrétisation ad hoc de l’opérateur d’advection, par une technique de volumes finis basés sur un maillage dual, garantit la stabilité de l’étape de prédiction de vitesse. Des estimations a priori pour la vitesse et la pression assurent l'existence de la solution. Nous démontrons que ce schéma est stable, au sens où l’entropie discrète est décroissante.

Pour l’équation de conservation de masse de la phase gazeuse, nous construisons une approximation volumes finis qui garantit un principe du maximum discret. De cette dernière propriété, nous déduisons l’existence et l’unicité de la solution discrète.

Enfin, sur la base de ces travaux, un schéma conservatif, monotone et stable indépendamment du nombre de Mach est construit pour le modèle de dérive. Ce modèle présente, en outre, la propriété suivante : si les conditions initiales et aux limites le permettent, une interface est transportée à vitesse et à pression constantes (propriété de transport de la discontinuité de contact pour le système hyperbolique considéré). Pour que cette propriété soit vérifiée au niveau discret, nous construisons une étape de projection originale qui couple le bilan de masse et les termes de transport du bilan de masse de la phase gazeuse, les termes restants étant pris en compte ultérieurement par une méthode de splitting. Nous démontrons l’existence d’une solution discrète pour l’étape de projection. Différents résultats numériques sont présentés ; ils confirment les potentialités de la méthode.