Un schéma éléments finis non-conformes/volumes finis pour l’approximation en maillages non-structurés des écoulements à faible nombre de Mach

Guillaume ANSANAY-ALEX, thèse de doctorat de l'université de provence, école doctorale de mathématiques et informatique, spécialité mathématiques, 138 p., soutenue le 17 juin 2009.

Nous développons dans cette thése un schéma numérique pour la résolution sur des maillages non-structurés d’un systéme d’équations couplant les équations de Navier–Stokes dites ”à faible nombre de Mach” à un ensemble d’équations de bilan pour des quantités scalaires. Un schéma de marche en temps du type méthode à pas fractionnaire est appliqué au système global. La contribution principale de la thèse est le développement d’une approximation stable de la prédiction de vitesse discrétisée par éléments finis non-conformes et la mise au point d’un schéma par volumes finis qui soit à la fois stable et robuste vis-à-vis du principe du maximum pour les équations de bilan scalaires.L’approximation des équations de Navier–Stokes par les éléments finis non-conformes de Crouzeix–Raviart ou de Rannacher–Turek permet de satisfaire la condition de compatibilité inf–sup discrète d’une part et, d’autre part, ces éléments placent les degrés de liberté de vitesse aux centres des faces, ce qui facilite le couplage avec les autres équations de bilan qui sont approximées par volumes finis. La non-conformité inhérente à ces éléments conduit à deux difficultés. L’approximation de Galerkin de la prédiction de vitesse est plus particulièrement sensible aux régimes à convection dominante et aux couches limites. Nous avons ainsi d´eveloppé, pour des maillages quelconques en hexahèdres ou tétrahèdres et en maillage structuré axisymétrique, une approximation des termes d’inertie, construite sur un maillage dual et sur la base d’un résultat de volumes finis, qui respecte une inégalité d’énergie et permet le contrôle au niveau discret de la variation d’énergie cinétique par la dissipation visqueuse. La stabilité au sens L2 de la vitesse est obtenue et on vérifie expérimentalement que l’ordre optimal de convergence en espace est conservé. Une deuxième difficulté est le contrôle de certaines composantes de vitesse en présence de termes de flottabilité. Nous avons proposé une discrétisation ”bien équilibrée du second membre permettant de contrôler les vitesses tout en gardant l’ordre optimal de convergence spatial.
Dans la définition d’un schéma volumes finis pour l’approximation des équations de convection–diffusion, nous sommes confrontés à la nécessité de s’adapter à des maillages provenant du raffinement localisé du maillage dans des géométries complexes ou près des fortes variations de la solution, maillages potentiellement non-structurés voire non-conformes, auxquels les méthodes classiques d’approximation par volumes finis ne sont pas adaptées. Une autre contrainte omniprésente dans la simulation de ces phénomènes est le respect d’un principe de maximum discret, préservant les grandeurs simulées dans leurs bornes physiques. Nous avons donc proposé un couplage nouveau de schémas volumes finis pour l’équation de convection–diffusion : une méthode d’approximation d’ordre élevé des flux convectifs sur des maillages non-structurés et/ou nonconformes inspirée des méthodes MUSCL multipentes, et une méthode de type volumes finis d’approximation consistante des flux diffusifs. On vérifie numériquement, séparément puis de manière couplée, la précision et le respect du principe du maximum pour ces deux méthodes.
Tous les développements effectués sont enfin validés sur des cas concrets d’intérêt pour la simulation des écoulements turbulents réactifs.