Raffinement local adaptatif et méthodes multiniveaux pour la simulation d’écoulements multiphasiques.
Sébastian MINJEAUD, thèse de doctorat de l'Université Paul Cézanne, spécialité: Mathématiques, 262 p., soutenue le 27 septembre 2010
Ce manuscrit de thèse décrit certains aspects numériques et mathématiques liés à la simulation d'écoulements incompressibles triphasiques à l'aide d'un modèle à interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard (les interfaces sont représentées par des zones d'épaisseur faible mais non nulle) couplé aux équations de Navier-Stokes. La discrétisation en espace est effectuée par approximation variationnelle de Galerkin et la méthode des éléments fnis. La présence d'échelles très différentes dans le système (les épaisseurs d'interfaces étant très petites devant les tailles caractéristiques du domaine) suggère l'utilisation d'une méthode de raffinement local adaptatif.
La procédure que nous avons mise en place, permet de prendre en compte implicitement les non conformités des maillages générés, pour produire in fine des espaces d'approximation éléments finis conformes. Le principe est de rafiner en premier lieu les fonctions de base plutôt que le maillage. Le raffinement d'une fonction de base est rendu possible par l'existence conceptuelle d'une suite emboîtée de grilles uniformément raffinées, desquelles sont déduites des relations "parents-enfants" reliant les fonctions de bases de deux niveaux successifs de raffinement. Nous montrons, en outre, comment exploiter cette méthode pour construire des préconditionneurs multigrilles.
A partir d'un espace d'approximation éléments finis composite (contenant plusieurs niveaux de raffinement), il est en effet possible par "coarsening" de reconstruire une suite d'espaces emboîtés auxiliaires, permettant ainsi d'entrer dans le cadre abstrait multigrille. Concernant la discrétisation en temps, notre étude a commencé par celle du système de Cahn-Hilliard. Pour remédier aux problèmes de convergence de la méthode de Newton utilisée pour résoudre ce système (non linéaire), un schéma semi-implicite a été proposé. Il permet de garantir la décroissance de l'énergie libre discrète assurant ainsi la stabilité du schéma. Nous montrons l'existence et la convergence des solutions discrètes vers une solution faible du système. Nous poursuivons ensuite cette étude en donnant une discrétisation en temps inconditionnellement stable du modèle complet Cahn-Hilliard/Navier-Stokes. Un point important est que cette discrétisation ne couple pas fortement les systèmes de Cahn-Hilliard et Navier-Stokes, autorisant une résolution découplée des deux systèmes dans chaque pas de temps. Nous montrons l'existence des solutions discrètes et, dans le cas où les trois fluides ont la même densité, nous montrons leur convergence vers des solutions faibles. Nous étudions, pour terminer cette partie, diverses problématiques liées à l'utilisation de la méthode de projection incrémentale. Enfin, la dernière partie présente plusieurs exemples de simulations numériques, diphasiques et triphasiques, en deux et trois dimensions.