Schémas numériques pour les modèles de turbulence statistiques en un point

Aurélien LARCHER, Thèse de doctorat de l'université de Provence, UFR Mathématiques-Informatique-Mécanique, spécialité mathématique, école doctorale de mathématique et informatique, 124p., soutenue le 5 novembre 2010

Les modèles de turbulence de type Navier–Stokes en moyenne de Reynolds (RANS) au premier ordre sont étudiés dans cette thèse. Ils sont constitués des équations de Navier–Stokes, auxquelles on adjoint un système d’équations de bilan pour des échelles scalaires caractéristiques de la turbulence. L’évaluation de celles-ci permet, grâce à une relation algébrique, de calculer une viscosité additionnelle dite “turbulente”, modélisant la contribution de l’agitation turbulente dans les équations de Navier–Stokes. Les problèmes d’analyse numérique abordés se placent dans le contexte d’un algorithme à pas fractionnaire constitué d’une approximation, sur un maillage régulier, des équations de Navier–Stokes par éléments finis non-conformes de Crouzeix–Raviart, ainsi que d’un ensemble d’équations de bilan de la turbulence de type convection–diffusion, discrétisées par la méthode de volumes finis standard.
Un schéma numérique basé sur une discrétisation de volumes finis, permettant de préserver la positivité des échelles turbulentes telles que l’énergie cinétique turbulente (k) et son taux de dissipation (ε), est ainsi proposé dans le cas des modèles k − ε standard, k − ε RNG et leur extension.
La convergence du schéma numérique proposé est ensuite étudiée sur un problème modèle constitué des équations de Stokes incompressibles et d’une équation de convection–diffusion stationnaires, couplées par les viscosités et le terme de production turbulente. Il permet d’aborder la difficulté principale de l’analyse d’un tel problème : l’expression du terme de production turbulente amène à considérer, pour les équations de bilan de la turbulence, un problème de convection–diffusion avec second membre appartenant à L1.
Enfin, afin d’aborder le problème instationnaire, on montre la convergence du schéma de volumes finis pour une équation de convection–diffusion modèle avec second membre appartenant à L1. Les estimations a priori de la solution et de sa dérivée en temps sont obtenues dans des normes discrètes dont les espaces correspondants ne sont pas duaux. Un résultat de compacité plus général que le théorème de Kolmogorov usuel, qui se pose comme un équivalent discret du Lemme d’Aubin–Simon, est alors proposé et permet de conclure à la convergence dans L1 d’une suite de solutions discrètes.