Schémas numériques pour la simulation des grandes échelles

Fanny Dardalhon a soutenu sa thèse le 3 décembre 2012 à Marseille.

Dans les simulations effectuées pour les études de sûreté nucléaire, les écoulements à décrire sont la plupart du temps turbulents. Dans ce contexte, l’objectif de ce travail est de développer et d’analyser des schémas numériques performants pour la LES dans des domaines de géométrie complexe (maillages non structurés) pour des écoulements incompressibles ou à faible nombre de Mach. Deux arguments semblent essentiels à la construction de tels schémas, à savoir de contrôler l’énergie cinétique et d’être précis pour des écoulements à convection dominante.

Les schémas étudiés sont des méthodes à pas fractionnaires basées sur une technique de correction de pression appliquée aux équations de Navier-Stokes. La discrétisation spatiale repose sur des éléments finis mixtes non conformes de bas degré (Rannacher-Turek).

Concernant la discrétisation en temps, nous proposons un schéma de type Crank-Nicolson et nous montrons qu’il satisfait un contrôle de l’énergie cinétique. Ce schéma présente de plus l’avantage d’être peu dissipatif numériquement (résidu d’ordre deux en temps).

Concernant la discrétisation en espace par l’élément fini de Rannacher-Turek, elle semble peu précise pour la simulation d’écoulements à convection dominante (mise en évidence sur différents cas-tests), notamment par rapport au schéma MAC. Pour cette raison, deux approches sont envisagées dans ce manuscrit. La première approche consiste à construire un schéma pénalisé contraignant les degrés de liberté tangents aux faces à s’écrire comme combinaison linéaire des degrés de liberté normaux de sorte que, en faisant tendre le paramètre de pénalisation vers l’infini, le schéma limite est de type MAC. La deuxième approche repose quant à elle sur l’enrichissement de l’espace discret d’approximation pour la pression. Pour la discrétisation du problème de Stokes par ce nouvel élément, des estimations en espace d’ordre un pour la vitesse (norme H1) et pour la pression (norme L2) sont démontrées dans le cas de maillages uniformes constitués de rectangles ou de parallélogrammes.

Enfin, différents tests numériques sont présentés en dimensions deux et trois et pour des maillages généraux, afin d’illustrer les capacités des schémas étudiés et de confronter les résultats théoriques et expérimentaux.