Schémas numériques pour la simulation de l'explosion

Dans les installations nucléaires, les explosions, qu’elles soient d’origine interne ou externe, peuvent entrainer la rupture du confinement et le rejet de matières radioactives dans l’environnement. Il est donc fondamental, dans un cadre de sûreté de modéliser ce phénomène. La propagation des ondes de choc est modélisée par les équations d’Euler pour un fluide compressible, alors que la phase de déflagration avec propagation du front de flamme est modélisée par les équations de Navier-Stokes avec termes de réaction auxquelles on adjoint une équation de type level-set pour suivre la propagation de la flamme. L’objectif de cette thèse est de contribuer à l’élaboration de schémas numériques performants pour résoudre ces modèles complexes.

Les travaux présentés s’articule autour de deux axes majeurs : le développement de schémas numériques consistants pour les équations d’Euler compressible et celui de schémas performants pour la propagation d’interfaces. On étudie des schémas explicites en temps dans les eux cas, ainsi qu’un schéma de type correction de pression concernant les équations d’Euler. La discrétisation spatiale est de type mailles décalées. Elle se base sur la formulation en énergie interne du système d’Euler, ce qui permet d’en assurer la positivité et évite la discrétisation plutôt difficile de l’énergie totale sur mailles décalées. Un bilan d’énergie cinétique discret est obtenu et un terme source est ajouté dans le bilan d’énergie interne pour permettre de retrouver un bilan d’énergie totale à la limite. Des techniques de montée en ordre de type MUSCL sont utilisées pour la discrétisation des opérateurs convectifs discrets. Elles se basent uniquement sur la vitesse matérielle, et permettent de garantir, sous condition de CFL, la positivité de la masse volumique et de l’énergie interne. On s’assure ainsi que l’énergie totale ne peut croître et on obtient en plus une inégalité d’entropie discrète. Sous des hypothèses de stabilité en normes L∞ et BV on démontre que si les solutions discrètes du schéma convergent, alors elles le font nécessairement vers la solution faible des équations d’Euler. De plus elles vérifient une inégalité d’entropie faible à la limite.

Concernant la propagation d’interface, on transforme l’équation d’évolution de cette dernière (la “G-equation”), qui est une équation de type Hamilton-Jacobi particulière, en une équation de transport et on utilise les outils déjà introduits pour les équations d’Euler. Il est nécessaire de discrétiser de façon consistante le gradient aux faces. Pour les maillages non réguliers, une construction de type schéma “SUSHI” est utilisée. Cette dernière est modifiée pour les maillages cartésiens afin de pouvoir récupérer des propriétés de monotonie, et de consistance des opérateurs spatiaux discrets à la limite. Ces propriétés permettent de démontrer un résultat de convergence uniforme pour le schéma décentré amont cartésien. Des tests numériques permettent de plus de s’assurer que le schéma converge sur des maillages plus irréguliers.