Quelques schémas de bas degré pour les écoulements compressibles et incompressibles

Jean-Claude Latché a soutenu son HDR le 9 juillet 2010 à l'INSTN de Cadarache.

Prof. Pierre Fabrie (Univ. Bordeaux 1), rapporteur

Prof. Jean-Luc Guermond (US-Texas A&M University), rapporteur

Prof. Raphaële Herbin (Univ. Aix-Marseille 1), membre

Prof. Philippe Angot (Univ. Aix-Marseille 1), membre

Prof. Thierry Gallouet (Univ. Aix-Marseille 1), membre

Prof. Peter D. Minev (Univ. Alberta, Canada), membre

Dans la première partie de ce mémoire, nous présentons une famille cohérente d'algorithmes de correction de pression pour le calcul d'écoulements incompressibles. puis à faible nombre de Mach, compressibles, et, enfin, éventuellement diphasiques. Ces schémas sont basés sur des discrétisations spatiales de bas degré, où les degrés de liberté de vitesse sont localisés sur les faces du maillage, et les autres inconnues sont constantes par maille. Le couple vitesse-pression est ainsi approximé par un élément de Crouzeix-Raviart pour les mailles prenant la forme d'un simplexe ou de Rannacher-Turck pour les quadrilatères (2D) ou hexaèdres (3D). Toutefois, si, dans l'équation de bilan de quantité de mouvement, les termes de diffusion et de gradient de pression sont bien discrétisés par uue technique d'éléments finis, les autres sont approchés par une méthode de volumes finis basée sur un maillage dual. Ces schémas héritent des propriétés de stabilité du problème continu, et notamment vérifient une inégalilé d'énergie, quelque soit le pas de temps. A nOtre connaissance, ces résultats de stabilité sont les premiers de ce type pour les écoulements compressibles. En outre, nous démontrons la convergence de l'approximation par éléments finis de Crouzeix-Raviart d'un problème modèle, le problème de Stokes compressible, ce qui semble également être le premier résultat de convergence numérique pour ces équations.

Dans un second temps, nous proposons, pour le cas incompressible ou à faible nombre de Mach, un nouvel algorithme en temps. Nommée "méthode de pénalilé-projection", cette technique diffère des schémas de production usuels par l'ajout dans l'étape de prédiction d'un terme de pénalisation, construit pour contraindre la vitesse à satisfaire le bilan de masse. Ce terme est multiplié par un coefficient r, dit paramètre de pénalisation. Nous montrons par des expériences numériques que ce schéma est bien plus précis que la méthode usuelle. L'erreur de fractionnement, dominante à fort pas de temps, est réduite à volonté en augmentant r; à noter, toutefois, que l'usage d'une valeur trop importante dégrade le conditionnement de l'opérateur associé à l'étape de prédiction. Par ailleurs, les pertes de convergence de la méthode de projection usuelle en cas de conditions aux limites ouvertes sont corrigées, dès que r est non nul. Ces expériences numériques sont confortées par une étude théorique, menée pour le problème de Stokes instationnaire, qui montre que ce schéma hérite des propriétés de convergence en temps des deux familles d'algorithmes qu'il combine : pour r faible, l'erreur de fractionnement se comporte, en normes énergie, comme celle de la variante récente des méthodes de projection appellé "méthode rotationnelle", à savoir comme δt2 et δt3/2 pour la vitesse et la pression, respectivement; à fortes valeurs de r, nous obtenons pour l'erreur en vitesse la majoration en δt/r classique pour les méthodes de pénalité, tandis que l'erreur en pression varie comme 1/r.

Enfin, pour les équations de Navier-Stokes incompressibles, nous construisous des schémas basés sur une discrétisation spatiale différente (et, à nombre de mailles égal, nécessitant moins de degrés de liberté) : les volumes finis colocalisés. Les schémas proposés ont pour spécificité l'ajout de termes de stabilisation à équation de bilan de masse, i.e., ici, à la contrainte de divergence nulle. Nous en montrons la stabilité et la convergence pour les équations de Stokes et Navier-Stokes, stationnaires et instationnaires, et nous prouvons des majorations d'erreur optimales pour le problème de Stokes stationnaire. A notre connaissance, l'ensemble de ces résultats est nouveau pour ce type d'approximation en espace.