On a stablilized colocated finite volume scheme for the Stockes problem

Titre de la revue : Mathematical Modelling and Numerical Analysis Volume : 40 N° : 3 Pagination : 501-527 Date de publication : 01/06/2006

Nous présentons et analysons dans cet article un nouveau schéma Volumes Finis colocalisé pour la résolution du problème de Stokes. Son développement a été mené en suivant deux idées essentielles. D'une part, la discrétisation du terme de gradient de pression est construite comme la transposée discrète du terme de divergence, ce dernier éant calculé par une approximation volumes finis usuelle ; cela conduit `a utiliser pour l'expression de la pression aux faces des éléments une formule d'interpolation non-standard. En second lieu, nous mettons en ½uvre une technique de stabilisation qui peut être interprétée comme l'analogue en volumes finis de la stabilisation proposée par Brezzi et Pitk¨aranta. Nous démontrons que, sous les hypothèses de régularité usuelles (appartenance à H2() de chaque composante de la vitesse et appartenance `a H1() de la pression), le schéma est d'ordre un en norme H1 discrète et en norme L2 pour respectivement la vitesse et la pression, pourvu notamment que l'approximation des flux associés au bilan de masse soit d'ordre deux. Avec les formules d'interpolation précitées, cette dernière condition n'est vérifiée que pour des maillages particuliers: maillages réguliers en quadrangles ou triangulations ne comportant que des angles aigus en dimension deux, maillages réguliers en parallélépipèdes en dimension trois. Les tests numériques confirment cette analyse et mettent en évidence, en outre, une convergence d'ordre deux de la vitesse dans une norme L2 discrète.