Schémas à mailles décalées sur maillages généraux pour les écoulements incompressibles et compressibles
Aubin BRUNEL a soutenu sa thèse le 12 décembre 2022 à Marseille.
Laboratoire d'accueil : Laboratoire de l'incendie et des explosions (LIE)
Date de début de thèse : octobre 2019
Nom du doctorant : Aubin BRUNEL
Résumé
Les équations classiques de la mécanique des fluides, comme les équations de Navier-Stokes ou les équations d’Euler, permettent de décrire différents types d’écoulements observés dans de nombreux phénomènes, comme par exemple les incendies dans des locaux confinés et ventilés mécaniquement ou les déflagrations turbulentes, qui sont étudiées au sein du Laboratoire de l’Incendie et des Explosions de l’Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire. L’objectif de cette thèse est d’améliorer les schémas numériques à mailles décalés utilisés pour la simulation de ce type de problèmes, et de les étendre à des maillages très généraux, tout en garantissant leur validité pour différents régimes d’écoulement (incompressibles ou compressibles). Une attention particulière est portée sur les opérateurs de convection et de diffusion de l’équation de quantité de mouvement dont la discrétisation est développée de façon à être valable pour différents types de mailles, et notamment des mailles tridimensionnelles comme des mailles prismatiques ou pyramidales. L’opérateur discret de convection de la quantité de mouvement est un opérateur de type volumes finis et se base sur la construction de vitesses interpolées aux interfaces ainsi que sur la construction de flux discrets. Un schéma de type MUSCL algébrique est utilisé pour l’interpolation des vitesses aux faces, qui permet de monter en ordre par rapport au schéma décentré amont classique, tout en garantissant sa stabilité sous certaines conditions. Cet opérateur se base sur des contraintes de stabilité algébriques et non pas géométriques, contrairement au schéma MUSCL originel, ce qui lui permet d’être facilement transposable à des mailles générales. Par ailleurs, les flux discrets pour cet opérateur sont construits à partir des flux de l’opérateur discret de convection de l’équation du bilan de masse. Cette discrétisation, basée sur des conditions de stabilité purement algébriques, dépend de la nature du polygone ou du polyhèdre de la maille considérée, mais pas de leur géométrie, ce qui la rend flexible par rapport à la distorsion ou l’anisotropie du maillage. Pour autant, cette méthode permet d’aboutir à une discrétisation consistante de l’opérateur de convection. Enfin, l’opérateur discret de diffusion est basé sur une méthode d’éléments finis non-paramétrique. Nous montrons qu’il est possible de généraliser des éléments classiques tels que l’élément de Crouzeix-Raviart ou l’élément de Rannacher-Turek à des mailles générales. Cette généralisation donne des opérateurs discrets inf-sup stables, et permet de retrouver des ordres de convergence optimaux sur des maillages complexes du fait de sa nature non-paramétrique.